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sinx =x-x³/3!+x⁵/5!-...(-1)^k-1*x^2k-1/(2k-1)!+...      (0<x<∞)

cosx =1-x²/2!+x⁴/4!-...(-1)^k*x^2k/(2k)!+...           (0<x<∞)

arcsinx =x + 1/2*x³/3 + 1*3/(2*4)*x⁵/5 + ...       (|x|<1)

arctanhx = x + x^3/3 + x^5/5 + ...                   (x≤1)

tanx =sinx/√1-sin²x

arccosx = π-arcsinx

计算sin和cos, tan时把角度化小(用诱导公式)后直接用公式算都不太慢.

也可以用 三角函数 提到的半角公式递归地把角度化小再用上述幂级数计算.

反三角函数的计算可以归结为 arctan 的计算. 用下式把 x 化小, 然后用上述幂级数计算.

对于 sin(1/x)=P(0,n)/Q(0,n)  n→∞

设 

   R(a,b)=(2a+2)(2a+3)...(2b+1),  Q(a,b)=R(a,b)x^2(b-a)

   P(a,b)=(-1)^aQ(a,b)+(-1)^a+1Q(a+1,b)+...(-1)^b-1Q(b-1,b)+(-1)^b

递归算{ m=[(a+b)/2], P(a,b)=P(a,m)Q(m,b)+P(m+1,b), Q(a,b)=Q(a,m)Q(m,b) }

 其中 R(a,a+1)=(2a+2)(2a+3)    Q(a,a+1)=(2a+2)(2a+3)x²

      P(a,a+1)=(-1)^a(2a+2)(2a+3)x²+(-1)^a+1

或对于 sin(1/x)=(1+P(0,n)/Q(0,n))/x  n→∞

设

   R(a,b)=(2a+2)(2a+3)...(2b+1),  Q(a,b)=R(a,b)x^2(b-a)

   P(a,b)=(-1)^a+1Q(a+1,b)+(-1)^a+2Q(a+2,b)+...+(-1)^b-1Q(b-1,b)+(-1)^b

递归算{ m=[(a+b)/2], P(a,b)=P(a,m)Q(m,b)+P(m,b), Q(a,b)=Q(a,m)Q(m,b) }

 其中 R(a,a+1)=(2a+2)(2a+3)    Q(a,a+1)=(2a+2)(2a+3)x²

      P(a,a+1)=(-1)^a+1

对于 cos(1/x)=1+P(0,n)/Q(0,n) 

设

   R(a,b)=(2a+1)(2a+2)...2b, Q(a,b)=R(a,b)x²(b-a)

   P(a,b)=(-1)a+1Q(a+1,b)+(-1)a+2Q(a+2,b)+...+(-1)b-1Q(b-1,b)+(-1)b

递归算{ P(a,b)=P(a,m)Q(m,b)+P(m,b), Q(a,b)=Q(a,m)Q(m,b) }

设:

  R(a,b)=(2a+3)(2a+5)...(2b+1), Q(a,b)=(2a+3)(2a+5)...(2b+1)q^2(b-a)

递归算

Last update 9/02/2007