| 高精度求开方 ----翻译自 Mathematical Constants and computation 的 |
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| 开平方,在不知内情的人看来, 它非常神秘. 而此文正好满足我们的好奇心... | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 基本方法 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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很类似除法, 以求200的开平方为例, 对200开平方(结果是14.142135...)
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| 基本方法的原理 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 设 R
为计算时所用的进位制. 不失一般性, 设 1<=A<R2,
有计算结果B=√A,
1<=B<R.
将B展开表示 B=b0+b1R-1+b2R-2+... 第k+1次计算后 有部分结果 Pk=b0+b1R-1+...+bkR-k, 余数 rk=A-Pk2. 由下式确定下一位 A-(Pk+(bk+1+1)R-(k+1))2<0<A-(Pk+bk+1R-(k+1))2. 将上式平方项展开整理得 A-Pk2-(2Pkbk+1R-(k+1)+bk+12 R-2(k+1))>0. 结合余数的定义有 rk=(2Pk+bk+1 R-(k+1))bk+1R-(k+1)+rk+1. (2Pk+bk+1 R-(k+1))就是 得数乘以20加上下一位 的由来. |
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| 级数展开 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1. 由代数式的变换 Sqrt(x)=a/b * 1/Sqrt[1-(xb2-a2)/(xb2)]
而1/sqrt(1-y) = 1+(1/2)y+(1*3)/(2*4)y2+(1*3*5)/(2*4*6)y3+…
取a/b为Sqrt(x)的近似值, 因为这样可以使y尽量接近0, 从而提高计算速度. 例如Sqrt(2)≈239/169 , a=239,b=169 ,得 Sqrt(2) = (239/169)*1/Sqrt(1-1/57122) 2. 开N (正整数 次方)(x是被开方数)
(x)1/n=a/b * 1/[1-(xbn-an)/(xbn)]1/n
而1/(1-y)1/n = 1 + (1/n)y + (1*(n+1))/(n*2n)y2 + (1*(1+n)*(1+2n))/(n*2n*3n)y3+...
它的时间复杂度是 O(n2).
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| 牛顿叠代法 (它是目前最快的算法, ∴这是同时是最重要的方法) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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先求出1/sqrt(A)的近似值并赋给X, 反复运算下式 hn=1-Axn2 xn+1=xn+xn*hn/2 直到得到想要的精度(每算一次上式, 可比前次多差不多一倍的精度) {也可以用X←X+X[4(1-AX2)+3(1-AX2)2]/8, 算一次, 可比前次多差不多2倍的精度} 最后X←AX 就得到Sqrt(A) 反复算的过程有许多地方可以优化: While X<>0 do begin Mul(X,X,Tmp); Mul(Tmp,A,Tmp); {每次只取比X多一倍位数的A} Tmp ← 1-Tmp; {for i=1 to size do tmp[i]<-999…- tmp[i]} Mul(Tmp,X,Tmp); Mul(Tmp,0.5,Tmp); {乘以0.5 比除以2快} Add(X,Tmp,X); {X的前(size-1)部分几乎不用考虑} End;
2.开N (正整数 次方)(A是被开方数) X≈Exp(-Ln(A)/n); {X约等于A开N次方的倒数} While X精度不够do X ← X+X(1-AXn)/n; {算一次, 可比前次多差不多一倍的精度} X←A*Xn-1 {得到A开N次方}
附: 三次叠代式:
四次叠代式 :
高次叠代式: hn=1-Axn2 xn+1=xn+xnPr-1(hn) 其中 Pm(u) 如下：
六次叠代式:
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(x>0, a>0, b>0)
(x>0,
a>0, b>0, n>0)
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然后:
yN = AxNm-1.
高次的:
hn=1-Axnm
xn+1=xn+xnP(hn)
其中:
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例子:
开四次方:
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