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数是根据生产和生活的实际需要而逐渐发展的. 在初中, 我们已经把数的范围从有理数扩充到实数, 但是, 要解决许多自然科学和工程技术方面的问题, 实数范围的数已不够用了. 例如, 在解决方程 x²=-1 时, 就会遇到负数开偶次方的问题, 这在实数范围内是不可能的. 为了使这类方程也能有解, 必须把数的范围进一步加以扩充.

为使方程 x²=-1 有确定的解, 我们引进一个新的数的单位: i .这个单位平方后得到 -1 , 即:  i ² =-1 .      i 叫做虚数单位.

并且它也可以按照实数的运算法则进行计算.

很明显, 引进虚数单位后, 有 i ² = -1, (-i)²=i ²=-1, 所以方程  x²=-1  的解是 x=±i

虚数单位的幂的性质:

i ⁴ⁿ =1,  i ⁴ⁿ⁺¹ =i,  i ⁴ⁿ⁺² =-1,  i ⁴ⁿ⁺³ =-i      ( n∈N )

以上性质叫 i  的周期性.

1.2 纯虚数

i 和实数 b 相乘就得出形式为 bi 的数. 在 b 不等于0时它不能与任何实数相等, 这时, bi 叫做纯虚数.

1.3 复数

如果 a,b 都是实数, 那么, 形如 a+bi 的数叫做复数; a 叫做复数的实部, 它的单位是 1 ,  bi 叫做复数的虚部, 它的单位是 i , b 叫做复数的虚部系数.

当 b=0 时, a+bi 表示一个实数(即实数是复数的特例).

当 a=0 时, a+bi 表示一个纯虚数.

如果两复数的实部和虚部都相等, 那么称它们相等, 用'='表示.如当 a=c,b=d 时,a+bi=c+di.

任意两个不相等的复数没有规定大小. 例如 -1+3i, 5-2i ,我们只能说 -1+3i≠5-2i, 而不该规定哪一个较大, 哪一个较小.

如果两复数的实部相等, 虚部系数互为相反数, 那么, 这两个复数叫做共轭(è)复数.共轭复数的乘积是一个实数.

1.4 复数的几何表示

在平面直角坐标系中, 我们约定用横轴表示实部, 单位为 1, 用纵轴表示虚部, 单位为 i .于是复数 a+bi 就表示坐标平面上的点 M(a,b). 这样的平面叫复数平面(高斯平面). 在复数平面, X 轴又叫实轴, Y 轴叫虚轴.

复数的运算可按照多项式的法则进行.

2.1 复数的加减法

(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

2.2 复数的乘法

(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi²=(ac-bd)+(bc+ad)i

共轭复数相乘:

(a+bi)(a-bi)=a²-(bi)²=a²+b²    (一个实数)

2.3 复数的除法

利用一对共轭复数的积是实数的性质, 分子,分母同乘以分母的共轭复数, 转化为乘法运算.

(a+bi)÷(c+di)	=	a+bi c+di
	=	(a+bi)(c-di) (c+di)(c-di)
	=	(ac+bd)+(bc-ad)i      c2+d2
	=	ac+bd c2+d2	+	bc-ad c2+d2	i

r=√a²+b² 叫复数 a+bi 的模数. 几何意义是 向量 O→(a,b) 的长.

O→(a,b) 和 X 轴的正方向的夹角 θ ,叫做复数 a+bi 的幅角. 其中, 把适合 0≤θ≤2π 的 θ 叫做幅角的主值.

其中 r=√a²+b².

由上得.

a=rcosθ, b=rsinθ,

∴ a+bi =rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)

式 r(cosθ+isinθ) 叫复数 a+bi 的三角函数式.

3.1 复数三角函数式的乘法和乘幂.

设 Z₁=r₁(cosθ₁+isinθ₁),  Z₂=r₂(cosθ₂+isinθ₂).

以上结论可以推广到有限个复数相加的情况:

特别地, 如果:

Z₁=Z₂=...=Z_n=Z, 即r₁=r₂=...r_n ,θ₁=θ₂=...=θ_n

那么:

3.2 复数三角函数式的除法.

设Z₁=r₁(cosθ₁+isinθ₁),  Z₂=r₂(cosθ₂+isinθ₂).

那么:

3.3 复数三角函数式的开方.

设ρ(cosφ+isinφ) 为复数 r(cosθ+isinθ) 的 n 次方根.

那么   r(cosθ+isinθ) = [ρ(cosφ+isinφ) ]ⁿ = ρⁿ(cosnφ+isinnφ) 

因为相等的复数, 它们的摸数一定相等, 而幅角可能相差 2π 倍, 所以:

{	ρn=r
	nφ=π  (k 是任意的整数)

∴	ρ	=n√r
	φ	=	θ+2kπ n

n√r(cosθ+isinθ)=n√r(cos

θ+2kπ n

+i sin

θ+2kπ n

)

由上可知, 复数的 n 次方根有且只有 n 个不同的值.

可以看到复数乘除运算性质与实数里同底幂乘除运算性质很相似. 的确:

  cosθ+isinθ=e^iθ

上式 被称作拉欧公式, 所以:

a+bi=r(cosθ+isinθ)=reⁱ   (e=2.71828182845904523536... 自然对数的底数)

* 欧拉公式是怎么来的?

(这需要一点微积分和无穷级数的知识)

写出 cosx , sinx, e^x 的幂级数展开式:

e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+...+xⁿ/n!+...

sinx =x-x³/3!+x⁵/5!-...(-1)^k-1*x^2k-1/(2k-1)!+...      (0<x<∞)

cosx =1-x²/2!+x⁴/4!-...(-1)^k*x^2k/(2k)!+...           (0<x<∞)

把 e^x 展开式中的 x 换成 ±i x , 注意到 (±i )²=-1, (±i )³=-i, (±i )⁴=1 ... 于是得到

e^±ix=1±i x-x²/2!±i x³/3!+x^4/4!±i x⁵/5!...

=(1-x²/2!+x^4/4!-...)±i (x-x³/3!+x⁵/5!...)

即 e^±ix=cosx±i sinx

4.1 指数式的运算

乘法:

除法:

乘方:

开方: